1757年，以拉格朗日为首的一批科学家，在意大利成立了一个数学协会，这是都灵皇家科学院的前身。

1770年，拉格朗日证明了任意正整数可表为四个平方数之和。

1770年，拉格朗日出版了《关于方程代数解的思考》（réflexionssurlarésolutionalgébriquedeséquations），这是一个对于最高次数为四次的方程存在根式解的原因的基础研究。该论文首先将方程的根视为抽象量而不是数字。他研究了根的置换，这项工作导致了群论。

1771年，拉格朗日证明了威尔逊定理（首先由华林（waring）提出但未给出证明），即n是素数当且仅当(n-1)!+1被n整除。

1780年，拉格朗日因为研究行星对彗星轨道的扰动的工作获得了法国科学院的最高奖。

1785年，拉格朗日开始了关于椭圆函数和椭圆积分的工作。

1788年，拉格朗日出版了《分析力学》（mécaniqueanalytique）。它总结了自牛顿时期以来在力学领域完成的所有工作，值得注意的是它使用微分方程理论。通过这项工作，拉格朗日将力学转化为数学分析的一个分支。

1797年拉格朗日出版了《解析函数论》。它是第一本研究单变量实变函数理论的论文。它使用现代记号，例如dy/dx表示导数。

拉格朗日法国数学的状态，能不能依靠数学挣钱？

拉格朗日受到拿破仑重用后，都明白是他的数学和物理学十分的好。

拉格朗日也确实被人建议过，数学也能成为一个可以赚钱的产业。

但是历史上没有过这样的事情。就算学者们关心数学，也不可能是直接能拿数学知识卖钱的，能想到的顶多是当老师罢了。

但拉格朗日知道数学能卖钱是当老师的意思，而是需要一个有用的创新，推动社会的发展。大家都要善于解决数学问题的热情和能力。这才是数学真正的目的。

这种目的就像是点子公司，想出好的办法解决问题，以此赚钱。