在研究向量的时候，赫尔德发现，n维空间中，两个向量的夹角的余弦值对不不超过1。

听起来倒不觉得的有什么特别，但是他继续思考，这是一条揭示lp空间相互关系的基本不等式。

lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了banach空间一类重要的例子。

巴拿赫空间是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。