在《关于偏微分方程的理论》一文中，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅证明了，在某种条件下一类给定的偏微分方程有且仅有一解。

法国科学家柯西在1842年已经提出这个问题，并且给出了一个解答，但是1873年至1874年间，无论是魏尔斯特拉斯教授还是索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅都不知道他的工作。

实际上，直到1875年法国人达布发表了一篇与索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的结果类似的论文时，数学家们还没有普遍知道柯西关于这个问题的工作。

在一场以魏尔斯特拉斯代表索菲娅为一方，埃尔米特代表达布为另一方所进行的确保优先权的争论中，柯西的解答才得以发现。

索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的结论及简明扼要的表述赢得了专家们的称赞。

柯瓦列夫斯卡娅还曾经考察了热传导方程，发现了某些偏微分方程即使有“形式幂极数”解，也没有分析解。

柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理对于偏微分方程论是基本的，它是偏微分方程方面所有未来研究的起点。

当代俄国数学家奥莱尼克对此曾表示同意，并且说：“柯瓦列夫斯卡娅的工作标志着偏微分方程一般理论的发展的开端。”