心里明白这不是普通的复数可以表达的，一定得是形如a+bi+cj+dk这样的数字才可以表达，当然abcd都是实数。其中的ijk理解成一种旋转。对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表x轴与y轴相交平面中x轴正向向y轴正向的旋转，j旋转代表z轴与x轴相交平面中z轴正向向x轴正向的旋转，k旋转代表y轴与z轴相交平面中y轴正向向z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

同时其中的ijk的解法也可以写出是三个二阶矩阵，这个矩阵不能像行列式那样化成数字。这是一个不能使用交换律的乘法，主要就是表达旋转量的。最后量子的自旋也是使用了四元数直接表示的。

到了后来，汉密尔顿一直研究四元数，同时也发现四元数跟向量是等价的，所以慢慢的把很多模型都从四元数转化到向量计算上来。