贝尔奈斯说：“可是，我们直接组建就行吗，这样的系统到底是哪里看起来方便了？”

希尔伯特也不知道这是在干什么，他此刻需要提出一种规范的东西，或者是推广高维空间了，哪些东西可以继续使用的东西。

希尔伯特说：“首先第一点，那些不同变量的坐标轴必须是相互垂直的，是个正交关系。要是这个样子的话，我们就需要先去研究不同量变化的角度了。”

贝尔奈斯说：“带了角度的，要么是直线，或是曲线的切线，而且这些都有复杂的方向，需要使用复杂的向量来表示。”

希尔伯特说：“所以必须要使用向量，也就必须可以使用向量的法则，就是向量的长度和角度都必须存在，同时向量直接加法和乘法的运算必须要跟原来在二维和三维的时候要一样。”

这就是希尔伯特空间的内积性。

贝尔奈斯说：“没错，而且还需要有完备性。”

希尔伯特说：“如果要是有完备性，就需要是一种可以度量的空间。也就是他们的柯西序列是可以收敛在这种空间里的。”

贝尔奈斯说：“没错，这样就可以在高维空间里使用微积分了。”

希尔伯特说：“如果这样的话，在不同正交坐标系上的多项式都可以使用傅立叶变换来表示了。”

希尔伯特流形（hilbertmanifold）是模空间为希尔伯特空间的巴拿赫流形。