作者：saharonshelah，以色列数学家，2001年wolf数学奖得主。

haimjudah请我做关于集合论的未来的演讲，因为新的千僖年就要到来了，就讲讲下一个千年的集合论吧。但是我们马上就调整到讲下一个世纪的集合论，后来我想我最好讲下一个十年的集合论，但是我怀疑我将会讲下一年我想证明的定理和解决的问题，或者更糟糕的会讲在过去的一年里或20年里我所做的工作，看来我不是特别适合做这个演讲，因为我总是喜欢证明定理而不是做这样话题的演讲或文章，那我为什么要在这个演讲上做一次值得怀疑的努力呢？好，原因在这里：在我有道义上的义务帮助haimjudah组织这次会议和会议文集的前提下，在我不能让朋友失望的前提下，给我一个选择：要么安排与会者的宿舍，写罗嗦的文告，要么做这样一个有可能愚弄我自己的关于集合论的未来的演讲，毫无疑问我选择后者。

集合论的未来

我们现在讨论一些相关的感兴趣的话题，人们对这些话题的观点是不同的，对于我，下文表中感叹号!的个数代表它推动我的工作的程度.

话题a:对集合论兴趣的来源

数学基础/对哲学的应用!

对数学的应用!!!

历史原因!!!

内在的发展!!!!

美感!!!!!!!!!

证明的乐趣!!!!!

一般化!!!!!!

游戏娱乐[加上流行的规则]!!!

我们也可以用这些话题对当前集合论的工作和学者评价分类，所以下面我们将重点强调它们的差异。在很大程度上我被吸引到数学然后是数理逻辑中来是因为它们的一般化，我以为我这种一般化观点是正确的；看来我似乎错了。我感到例子经常会把你搞糊涂：特殊的性质只是陷阱因为它们在普通的情况下不成立，注意“一般化”我是指我宁愿以一般的一阶完全理论为研究对象，而不是有限morley秩的单群，但我的信条不是“不要只见树木，不见森林“，处理每个问题都要根据它的特性，找到你自己的领域对其他领域的应用意味着展示一些其他人会感兴趣的东西；但是给你一个问题，为什么不做到最好，把它做最大的推广呢，当然，如果定理已经被证明，而额外的推广是平凡的，那也是没意思的。

从另一个角度来看，我的很多同行，包括一些集合论领域里最优秀的大脑，对他们自己领域的自卑态度让我感到吃惊，他们很多在面对数学家时感到自卑，似乎这里有数学家，这里有逻辑学家，它们是不相干的领域，他们认为数学家是真正工作在更深，更难，更丰富，更有意义的领域，所以我们数理逻辑学家必须通过找到”数理逻辑“对”数学“的应用来证明我们的存在。这导致对数学的应用，逻辑学家做的大量工作，就像abrahamrobinson学派所做的那样。现在我喜欢在很多数学领域证明定理，只要我能做到，但是我不喜欢这种数理逻辑领域里的的卑屈态度.

很多其他人在发挥集合论对数学基础和哲学的作用做了很多工作，对此我也没有异议，但是有疑意。我的感受和很多作家类似：他们了解批评家对文化生活的作用，但认为墨守批评家的思想只会导致枯燥的作品，而这些思想本身会因为它们的内在美永远散发光芒。还有人为集合论”美好旧时时光“的失去而抱怨，那时证明由想法组成而不像现在这样具有技术性，大体来说，我不是”美好旧时时光“的支持者，因为那时忽视你技术性的能力，而技术性却是我的旗帜，很多次技术不是实现想法的例行事务，而是为组织，想法等等证明中的所有环节工作。这些技术是相当困难的，往往也包含有重要的新思想。我的感受，用夸张的方式来说，就是集合论的美感是永恒的，而它的哲学价值却受潮流引导.并且我感到这些抱怨者的话是相互矛盾的，比如他们有的说数理逻辑现在比以前更数学化了，有的说数理逻辑处理的事情是有意义的，顺便说一下，这些矛盾的观点在实践中却是不矛盾的，很多人支持当中不止一种观点。

关于集合论美感，我是指在一个结构中，定义，定理，证明和谐的占有位置的美感。但是复杂的证明我也不怕。当我是一个本科生的时候，在birkhoff-maclane的书里，我发现galois理论很漂亮，后来我发现morley理论和它的证明很漂亮。厌烦的读者可能会大怒：”美感？你可以在自己的脏乱中找到美感的痕迹？“，我只能说各有各的爱好，我的即是如此。

话题b:集合论的框架

zfc（译注：zemelo-frankel的8条公理＋选择公理）!!!!!!!

力迫法!!!!

内模型!!!

大基数!!!

zf+依赖选择公理(dc)+一些形式的决定性公理!

这是一个合理但有交叉的划分，无论如何，我们都是在zfc的框架内证明定理，从zfc框架的支持者的观点来看，证明定理意味着在zfc框架内证明它，其它的框架是辅助的，对此，我相当认同。力迫法告诉我们什么时候不能证明一个定理，大基数用来做协调性证明，运气好时大基数也能排列成线形序比较大小，最后，内模型用来表明大基数是必需的，或者得到更好的等价性的结果。我的感受是除了像协调性的结果外，zfc框架已经涵盖了我们的直觉范围，所以一个证明就是指zfc框架下的一个证明，这当然是一个认为zfc框架合理的强有力的证据.强化的力迫法本质上告诉我们所有的全体集合域都是同样正当的，因此我们应该研究有特殊的代表性的全体集合域，比如可构成集l就没有代表性，力迫法表明在zfc框架下证明定理或假设广义连续统假设成立就是无所谓的事，这是力迫法很强的结论，但是我怀疑这种对力迫法的观点会有人支持。从折衷的观点看，力迫法框架和zfc框架是互补的，一种框架给出另一种框架内结果的否定，所以你对一种框架感兴趣，你对另一种框架也会感兴趣，事实上，我被迫严肃的处理力迫法是我想证明：在解决阿贝尔群基数的whitehead问题中，我用阿列夫1势集合的每个稳定子集上的diamond定理是正确的，因为连续统假设不够强（从我的感受来说，文[sh64];[bd]中的力迫法太弱了）。

rn埋怨我，就在他全身心投入到力迫法前的两年，仔细向他解释为什么zfc框架下的证明是最好的，为什么我喜欢zfc框架下的证明而不是独立性结果。我仍然认为zfc框架下一个干脆的答案是最好的，即使一个证明独立性结果的新技巧可能更有趣。对于我，cohen的力迫法比连续统假设的一个证明要有趣得多，因为cohen给了我们一个一般化的方法——力迫法。

如果你对zfc框架的兴趣是认真严肃的，你应该把力气放在下面：

问题：在zfc框架下给出构造性的证明

我们现在知道如果可构成公理成立，在zfc框架下更容易得出构造性的证明。这点是不错的，如果你想表明某个定理不能被证明的话，你只要在某个全体集合域下证明这一点就可以了。例如在某基数真类存在的条件下，在文[gush151]中证明线性序的一阶理论里可以解释二阶逻辑，现在来看这个条件的限制是很弱的，把这么弱的限制条件去掉有多大的意义呢？我已经在这样的问题上做了相当多的工作，见文[sh300，iii]，[sh:e]和[sh284b]。当然，在zfc框架下不能得到构造性的证明的话，在某个全体集合域下得到构造性的证明是很有意义的。

早些时候，尤其是cohen的工作以前，尤其是当没有广义连续统假设我们看来不能得出任何结论的时候，我们曾经考虑把广义连续统假设采纳作为一条公理，不是因为我们对广义连续统假设的信心，而是因为我们对证明定理的愿望，我们才做这样的考虑，现在我认为这种考虑没有那么认真了。人们有时说我们应该”相信“或”采纳“可构成性公理v=l，我个人的意见是强烈反对这种做法，因为可构成集l是一个非常细小不具有代表性的案例，采纳它会损失很多有趣的定理，下文我们将会回到这一点，无论如何我都不会认为有人会认真对待这种做法。不管传闻如何，jensen应该不会”相信“可构成性公理v=l，虽然这确实是他的工作的个人优势，他认为在可构成性公理v=l下的证明显然比协调性的结果意义更大，对此我同意，但是和马丁公理ma下的证明比起来呢？和sharp不存在下的证明比起来呢？？和大基数下的证明比起来呢？？？下面的表会告诉我们一些事情（范围0－100的数字是凭我的印象得出的代表的心目中的价值）

jensenmagidor我自己

协调性404030

在可构成性公理v=l下655035

在大基数下506040

在zfc下100100100

我认为对可构成集l的研究是zfc框架下工作的一个很好的灵感来源，可构成集l是一个处在第二极端位置的个例，就像diamond定理和square定理的个例一样，举例来说，从广义连续统假设的个例可以证明diamond定理，学习了jensen的覆盖引理后，我想根据sharp是否存在，通过dichotomy或其他的性质证明组合性的定理是件奇妙的事（见下文话题c），这点在文[sh71]有暗示，在文[sh111]、[shst419]中实现，但是迄今为止我的这些工作没有发挥特别的影响力，从zfc框架的角度来看对内模型的理论形成了很高的期望，但是我最近了解到，jensen有更高的期望：找到一些不存在sharp的内模型，从这些内模型我们可以得到集合论的终极理论，通过两步可以理解集合论的一切——首先分析内模型，然后把真正的集合论简化到内模型，看起来很好，但我不相信这样行的通。

从大基数的角度来看，大基数的存在性的陈述是“半公理”的，大基数的支持者可能会说：看看累积的层次是怎样形成的，我们为什么要在得到了所有继承有限集后在可数阶段停下来呢？我们也不该停在zermelo集合论的阶段，停在第omega个基数的阶段，所以我们为什么要在第一个不可达基数，第一个马洛基数，第一个弱紧致基数，第一个可测基数的地方停下来？我们仍在继续寻找正确的公理，它们对集合甚至实数有很深的影响，这些公理是让人迷惑的，至少这些半公理是这样。

一个非常有趣的现象，这些大基数公理，比如那些自然出现的，是线性排序的，这证明它们是自然的，虽然我们从各种组合变形法则，从各种简单陈述的协调性得到这些大基数公理，但从某种范围看来所有这些自然的法则和陈述和一些大基数是等价协调的的，所有这些证明了它们的自然性。这样就提出了一个问题：

问题：是否有定理可以解释我们想象的这些性质是比我们已经理解的性质更加一致？

直觉告诉我，除了一些人造的全体集合域外，幂集公理和置换公理像选择公理一样是成立的，然而直觉却没有告诉我多少关于不可达基数存在性的信息，根据我的经验，数学很好但没有集合论背景的人非正式的提到zfc框架的时候是接受这个框架的。包括选择公理，但不包括大基数。你可以用从一些复杂的域到它自身映射的函数的集合组成的类，承认笛卡儿集的非空性，没有人会注意这些，没有人会为一个可数迭代形成幂集的算子感到不安，因此大基数的存在性是一个很自然也很有趣的陈述，并且大基数上的定理作为推论也很引人注目，虽然定理本身并不如此，所以我对用比zfc框架更少的条件证明大基数上的理不那么感兴趣。对于我上面的意见足以使我把大基数放在比内模型更高的位置，完全认可大基数在协调性证明中的作用，并且把大基数和决定性公理ad周围的观点陈述做比较，比如：从“zfc+超紧致基数”的协调性得到的协调性证明，怎么把条件的协调性小心的弱化，而结果却没有实质性的变化？我认为这是可行的。比如，从”zf+依赖选择公理+决定性公理+正则性“开始怎样？不，对于我它只是一个推论，而woodin或多或少持有和我相反的观点。既然我自己的直觉没有超出zfc框架或zfc＋大基数协调性框架，我认为这些定理都是大基数非常有趣的推论。

可能下文的类比可以解释我的观点，我们用标准的美国公民做类比，因为大家都熟悉，因此一个典型的集合论全体集合域和典型的美国人约翰史密斯先生对应，我的典型的全体集合域是很有趣的，它有广泛的区间在它里面广义连续统假设成立，但其他的定理却严重冲突，例子很多，比如——很多基数的souslin树是存在的，很多基数上的每个aronszajn树是special的，很多可测基数和一个边缘个例的非超紧致的巨基数是存在的，这些定理和约翰史密斯先生的事一样合理：在纽约北部长大，在加利福利亚接收高等教育，在大学的第三年肆业，住在中西部的郊区，大部分英国撒克逊血统，兼有少些爱尔兰、意大利、西班牙、黑人血统，和妻子分居有2.4个小孩。“得了，你怎么能没有连续统假设？你不能有的地方说对有的地方又说错！”，是的，但是约翰史密斯先生也不能有2.4个小孩，连续统假设和2.4个小孩一样不自然。虚构的美国标准公民约翰史密斯的情况和典型的全体集合域是很匹配的。受到这种类比的启发，可构成集l像是3k党章程某个章节的标题——一个值得研究的个例，但是可能不具有代表性。你也许会问：”这是否意味着你是个形式主义者而不是以前暗示的那样是个理想主义者？“，不，我是一个集合世界里的虔诚的理想主义者，但是我不能放弃对独立性现象的研究。