柯西在1821年证明f是连续的函数，后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。

存在a，b∈r，(a

f单调，或f在某开区间单调。

存在e1>0，使得x∈[0，e1]，有f(x)≥0，或者存在e2>0，使得x∈[0，e2]，有f(x)≤0

如果没有其他条件的话，假如承认选择公理成立，那么有无穷非f(x)=cx的函数满足该条件，这是1905年哈默(georghamel)利用哈默基的概念证明的。

后来哈默尔和勒贝格知道还有其他类型的方程也满足加性函数条件。

希尔伯特第五问题是该方程的推广

存在实数c使得f(cx)≠cf(x)解称为柯西-哈默方程(cauchy-hamelfunction)，希尔伯特第三问题中，从3-d向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（dehn-hadwigerinvariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。