c.w.博尔夏特说：“等一下，让我们再缕缕。是椭圆函数在复空间内，有一种圆环的形状。”

f.约赫姆塔尔说：“然后是二维空间中也找到了这样的结构？”

刘维尔说：“是的，这两者间有关联，所以当前我要把我所有的精力都耗在二维周期函数上。”

c.w.博尔夏特说：“你有什么发现吗？”

刘维尔像两个数学家展示了刘维尔四个定理。这是对椭圆函数论的一个较大贡献。围绕双周期性，刘维尔展示了椭圆函数的实质性质，如下：

刘维尔第1定理：在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；

刘维尔第2定理：椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0；

刘维尔第3定理：n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次；

刘维尔第4定理：在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。

后来，到巴黎访问的，而1850—1851年刘维尔在法兰西学院讲授的双周期函数课程，也在c.a.布里奥(briot)与j.c.布凯(bou－quet)所著《双周期函数论》(théoriedesfonctionsdoublementpériodiques，1859)一书中得到系统介绍。因此，尽管刘维尔的有关结论很少发表，仍能在法国内外迅速传播并产生影响，双周期函数的讲义后来发表在1880年第88卷的德国《纯粹与应用数学杂志》上。