viazovska的魔法函数很强大，甚至超乎预期。

球体堆积问题只关心附近点之间的相互作用，但是viazovska的方法似乎也适用于远程相互作用，例如电子之间的相互作用。

要证明空间中某种点的构型是普遍最优的，必须先指定所讨论的问题体系。

不存在对所有目标都是最优的点的构型，例如，当引力作用于点上时，最低能量的构型不是任何一种晶格，而是所有点都位于同一个点上的大规模堆积。

viazovska、cohn和他们的合作者关注的是斥力体系。

准确地说，他们考虑的条件是完全单调的，即点之间的距离越近，斥力越强。

这一体系包括物理世界的众多常见力，例如电荷的库仑平方反比定律。

球体堆积问题属于这一体系的边缘问题，只要把球体不重叠的条件转换为当两球中心距小于直径时，会出现无穷大的斥力就可以了。

对于这些完全单调的力，问题就变成：对于无限多的粒子集合，其最低能量构型，或者说“基态”是什么。

2006年，cohn和kumar通过比较能量函数与具有良好性质的较小“辅助”函数，开发了一种求基态能量下限的方法。

他们发现每个维度都存在无限多的辅助函数，但无法确定哪个是最好的。

在8和24维中证明普遍最优性的五位论文作者：从左上顺时针分别为henrycohn，abhinavkumar，marynaviazovska，stephenmiller和danyloradchenko。

cohn和kumar发现在大多数维度中，他们找到的数值边界与最广为人知的构型的能量大相径庭。但是在8和24维中，cohn和kumar尝试模拟了所有的斥力，其数值边界与e8和leech晶格的能量都惊人地相似。自然，接下来的疑问就是，对于任何给定的斥力，是否存在一个完美的辅助函数，其给出的边界与e8或leech晶格能量完全匹配。

对于球体堆积问题，这正是viazovska三年前的工作：她在模函数中找到了完美的“魔法”辅助函数，模函数的特殊对称性使它们数世纪以来一直是数学家的研究对象。

当涉及到其他排斥点问题，例如电子问题时，每个魔法函数需要满足的特性是已知的：其必须在特定点上具有特殊值，而其傅立叶变换（用于量化函数的固有频率）则需要在其他点上具有特殊值。研究人员只是不知道这样的函数是否存在。

通常，构造一个在某些点上有期望效果的函数很简单，但是同时控制函数及其傅立叶变换是非常困难的。cohn说：“当你强行调整它们中的一个时，另一个总会与你的期望背道而驰。”

事实上，这一特性属于物理中著名的不确定原理。海森堡不确定原理就是这样一个特例，因为一个粒子的动量波是其位置波的傅立叶变换。

对于8或24维中的斥力，viazovska大胆地推测：研究团队想要在他们的魔法函数上施加的边界限制，及其傅立叶变换都恰好落在可能和不可能之间的界线上。她怀疑，再多一点限制，就不可能存在这样的函数；再少一点限制，则可能存在太多函数。而在团队所研究的条件下，恰好只有一个函数完全合适。

与e8和leech晶格不同，二维三角形晶格在自然界中无处不在，从蜂窝结构到超导体中的漩涡状排列均在此列。

在大量的实验和模拟基础上，物理学家们提出假设，这一晶格在广泛的范围中都是最佳的。

除8和24维之外，二维是唯一一个cohn和kumar的数值下界可以良好运作的维度。这强烈暗示了二维中应该也存在魔法函数。

但是，没有人能给出三角形晶格普遍最优的概念解释，而这有望由数学证明解答。