随着高维空间的概念的增加，数学上必须开始正视高维空间的坐标系这样的东西引入了。

希尔伯特认为，想要引入这些概念，就需要让他们变得标准化。

首先从欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。

然后规定其上有距离和角的概念，引申而来的正交性与垂直性的概念。

希尔伯特空间也是一个内积空间。

还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列等价于收敛序列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。

最后可以引入量子力学中。