一般酉群(也称为酉相似群）由所有复矩阵a使得a*a是恒同矩阵非零复数倍，这就是酉群与恒同矩阵的正数倍的乘积。

博特周期性定理描述了酉群的同伦群和正交群同伦群的周期性。

博特是工程师出身，因为学习一些数学知识而爱上数学，他开始研究微分拓扑中的莫尔斯理论。以此证明了他不朽的同伦群周期性定理。

在微分拓扑中，莫尔斯理论的技术给出了一个非常直接的分析一个流形的拓扑的方法，它是通过研究该流形上的可微函数达成。根据莫尔斯的基本见解，一个流形上的一个可微函数在典型的情况下，很直接的反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到cw结构和柄分解，并得到关于它们的同调群的信息。在莫尔斯之前，凯莱和麦克斯韦在制图学的情况下发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量函数的临界点）。

在数学中，k-理论（k-theory）是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑k-理论；在代数与代数几何中，称之为代数k-理论；在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类k-函子构造，k-函子包含了有用、却难以计算的信息。

在物理学中，k-理论特别是扭曲k-理论出现在第二型弦理论，其中猜测它们可分类d-膜、拉蒙-拉蒙场以及广义复流形上某些旋量。